Maestría en
Matemáticas para la educación Básica.
Geometría.
Profesor: Doctor Daniel Mocencahua
Mora.
Teselado y transformaciones Isométricas (10/octubre/2012).
Por: Carlos Antonio Xochipa Coto.
Otoño 2012.
En
esta ocasión escribiré sobre la teselaciones, antes de empezar; primero mencionaré una breve reseña histórica del
autor, que maravillo con sus obras, a cientos de miles de personas en el mundo y
en especial a los matemáticos, específicamente a los geómetras; me refiero a M.C.
Escher. De la misma forma explicare como se relacionan los teselados, en
especial los de Escher con las transformaciones isométricas en el plano,
definiendo los conceptos más importantes de dichas transformaciones. En Geogebra
se diseñaron applets que aluden a los conceptos de las transformaciones isométricas,
y de un teselado de Escher, el cual deja en claro la relación antes mencionada.
Breve reseña histórica de M.C. Escher.
Maurits
Cornelis Escher (17 de junio de 1898—27 de marzo de 1972), Hijo de un ingeniero
hidráulico. Fue un pésimo estudiante, pues la escuela era una pesadilla, excepto
la clase de dibujo. Este artista holandés, es conocido por sus grabados en
madera, xilografías y litografías que tratan sobre figuras imposibles,
teselaciones y mundos imaginarios.
El carácter
matemático de sus obras ha hecho, de sus de estas las más reconocidas por los científicos,
en especial los matemáticos e informáticos. Diversas, conclusiones
gráficas y matemáticas a las que llegó, le permitieron terminar algunos
trabajos, descubriéndolos él mismo, por sus limitados conocimientos en
matemáticas.
400
litografías y grabados en madera, así como 2000 dibujos y borradores, realizó
en su carrera. Existen cientos de sus reproducciones y miles de otras, quizá esta
sea una de las razones que destruyó algunas de las planchas para que no se realizaran
más reproducciones de originales.
Un
número importante de sus obras se vendieron masivamente, un tiempo después de
su muerte, esparcidas por el mundo. En el museo Escher en la Haya, Holanda, se
exponen un grupo importante de sus obras.
Según
Bruno Ernst (biógrafo del artista), los trabajos de Escher se pueden clasificar
en tres temas:
· La estructura del espacio; incluye paisajes,
compenetración del mundo y cuerpos matemáticos.
·
La estructura de la superficie; metamorfosis,
ciclos y aproximaciones al infinito.
·
La proyección del espacio tridimensional en
el plano; representación pictórica tradicional, perspectivas y figuras
imposibles.
Lo
más relevante de las obras de Escher son: las figuras imposibles, los ciclos,
metamorfosis, diversos trabajos sobre la estructura de la superficie y la
partición regular del plano (da click en este enlace “teselado de Escher” y
observa un applet diseñado en Geogebra).
M.C.
Escher decía “La partición periódica del
plano es la fuente de inspiración más rica que haya encontrado jamás y esta muy
lejos todavía de haberse agotado”
Echemos
un vistazo a las maravillas de Escher.
Teselados
y Transformaciones
isométricas
Un
teselado o teselación es una regularidad o patrón de figuras que cubre o
pavimenta completamente una superficie plana que cumple con dos requisitos:
1. No
quedan huecos.
2. No
se superponen las figuras.
Existen
diferentes tipos de teselados como son:
·
Regulares: patrón que se obtiene repitiendo
un polígono regular, sólo hay tres.
·
Semiregular: es formado por dos o más
polígonos regulares y solo existen ocho.
· Irregulares formados por polígonos
irregulares o bien figura de animales en su mayoría. Estos últimos son los de
interés para los matemáticos en especial, a los geómetras, por su belleza y por
la gran dificultad para construirlos, estos se forman gracias a la deformación
de los lados de un polígono regular.
Los
teselados, se crean usando transformaciones isométricas sobre una figura
inicial.
Una transformación isométrica
de una figura en el plano es, la transformación que no altera la forma ni el
tamaño, en un cambio de posición (orientación o sentido), implicando que la figura inicial y la final
son semejantes, y geométricamente congruentes.
Estas
transformaciones isométricas tienen estrecha relación con las expresiones
artísticas, sustentada en la construcción geométrica.
Antes
de mostrar los conceptos de las diferentes transformaciones isométricas, es importante mencionar;
da click en cada transformación y observa el applet creado en Geogebra, que
cumple con los conceptos descritos abajo.
En
general, se llama traslación de un vector (v) a la isometría que a cada punto m
del plano le corresponde un punto m’ del mismo plano, tal que mm’ = v.
Las
traslaciones isométricas están marcadas por tres elementos:
·
La dirección, horizontal, vertical u oblicua.
·
El sentido, derecha, izquierda, arriba o
abajo.
·
La magnitud del desplazamiento de la figura
en una unidad de medida.
2.
Transformaciónisométrica por rotación. En geometría, es un movimiento de cambio
en la orientación de un cuerpo, de tal manera que, dado un punto cualquiera del
mismo, este permanece a una distancia constante de un punto fijo, con las
siguientes características.
·
Un punto denominado centro de rotación.
·
Un ángulo.
·
Un sentido de rotación.
Esta
transformación por rotación puede ser positiva (en sentido contrario a las
manecillas del reloj) o negativa (sentido de las manecillas del reloj).
3. Transformación isométrica por Simetría
(central o axial). Es la correspondencia exacta (reflejo) en la
disposición regular de las partes o puntos de un cuerpo con relación a un punto
(centro), recta (eje de simetría) o un plano.
Simetría Central. Transformación
en la que a cada punto se le asocia otro punto, que debe cumplir las siguientes
condiciones:
·
El punto y su imagen deben de estar a al
misma distancia de un punto llamado centro.
·
El punto, la imagen y el centro pertenecen a
la misma recta.
Simetría axial. Transformación
respecto de un eje de simetría, en el cual, a cada punto de la figura se le
asocia un punto denominado imagen, y debe de cumplir:
·
La distancia del punto y su imagen con
respecto del eje de simetría, es la misma.
·
El segmento que une al punto y su imagen, es
perpendicular al eje de simetría.
En
la simetría axial se conservan las distancias pero no los ángulos.
Aunque
no es considerada dentro de las transformaciones isométricas por sus
características es importantes escribir sobre:
La homotecia, es
una transformación que conserva la forma (sus ángulos se conservan) como la orientación
(sus lados proporcionales son paralelos) de la figura, más no necesariamente su
tamaño.
Formalmente,
se define una homotecia de centro O y razón k a la transformación que hace
corresponder a un punto A otro A’, alineado con A y O, tal que: OA’ = k*OA.
Referencias.
Alvy
(2006). Mini-biografía de M.C. Escher.
Recuperado
el 09 de octubre de 2012, de
Facultad
de Ciencias Físico y Matemáticas,
Universidad de Concepción (s/f), Guía de
trabajo (Geometría I).
Profesor
en línea (s/f). Isometría y
transformaciones Isométrica.
Teselaciones
de Escher.
Wikimedia
Commons (2012). Teselado.
