Math Xocc: Teselado y Transformaciones isométricas

Maestría en Matemáticas para la educación Básica.

Geometría.

Profesor: Doctor Daniel Mocencahua Mora.

Teselado y transformaciones Isométricas (10/octubre/2012).

Por: Carlos Antonio Xochipa Coto.

Otoño 2012.

En esta ocasión escribiré sobre la teselaciones, antes de empezar; primero mencionaré una breve reseña histórica del autor, que maravillo con sus obras, a cientos de miles de personas en el mundo y en especial a los matemáticos, específicamente a los geómetras; me refiero a M.C. Escher. De la misma forma explicare como se relacionan los teselados, en especial los de Escher con las transformaciones isométricas en el plano, definiendo los conceptos más importantes de dichas transformaciones. En Geogebra se diseñaron applets que aluden a los conceptos de las transformaciones isométricas, y de un teselado de Escher, el cual deja en claro la relación antes mencionada.

Breve reseña histórica de M.C. Escher.

Maurits Cornelis Escher (17 de junio de 1898—27 de marzo de 1972), Hijo de un ingeniero hidráulico. Fue un pésimo estudiante, pues la escuela era una pesadilla, excepto la clase de dibujo. Este artista holandés, es conocido por sus grabados en madera, xilografías y litografías que tratan sobre figuras imposibles, teselaciones y mundos imaginarios.

El carácter matemático de sus obras ha hecho, de sus de estas las más reconocidas por los científicos, en especial los matemáticos e informáticos. Diversas, conclusiones gráficas y matemáticas a las que llegó, le permitieron terminar algunos trabajos, descubriéndolos él mismo, por sus limitados conocimientos en matemáticas.

400 litografías y grabados en madera, así como 2000 dibujos y borradores, realizó en su carrera. Existen cientos de sus reproducciones y miles de otras, quizá esta sea una de las razones que destruyó algunas de las planchas para que no se realizaran más reproducciones de originales.

Un número importante de sus obras se vendieron masivamente, un tiempo después de su muerte, esparcidas por el mundo. En el museo Escher en la Haya, Holanda, se exponen un grupo importante de sus obras.

Según Bruno Ernst (biógrafo del artista), los trabajos de Escher se pueden clasificar en tres temas:

· La estructura del espacio; incluye paisajes, compenetración del mundo y cuerpos matemáticos.

· La estructura de la superficie; metamorfosis, ciclos y aproximaciones al infinito.

· La proyección del espacio tridimensional en el plano; representación pictórica tradicional, perspectivas y figuras imposibles.

Lo más relevante de las obras de Escher son: las figuras imposibles, los ciclos, metamorfosis, diversos trabajos sobre la estructura de la superficie y la partición regular del plano (da click en este enlace “teselado de Escher” y observa un applet diseñado en Geogebra).

M.C. Escher decía “La partición periódica del plano es la fuente de inspiración más rica que haya encontrado jamás y esta muy lejos todavía de haberse agotado”

Echemos un vistazo a las maravillas de Escher.

Youtube (2007)

Teselados y Transformaciones isométricas

Un teselado o teselación es una regularidad o patrón de figuras que cubre o pavimenta completamente una superficie plana que cumple con dos requisitos:

1. No quedan huecos.

2. No se superponen las figuras.

Existen diferentes tipos de teselados como son:

· Regulares: patrón que se obtiene repitiendo un polígono regular, sólo hay tres.

· Semiregular: es formado por dos o más polígonos regulares y solo existen ocho.

· Irregulares formados por polígonos irregulares o bien figura de animales en su mayoría. Estos últimos son los de interés para los matemáticos en especial, a los geómetras, por su belleza y por la gran dificultad para construirlos, estos se forman gracias a la deformación de los lados de un polígono regular.

Los teselados, se crean usando transformaciones isométricas sobre una figura inicial.

Una transformación isométrica de una figura en el plano es, la transformación que no altera la forma ni el tamaño, en un cambio de posición (orientación o sentido), implicando que la figura inicial y la final son semejantes, y geométricamente congruentes.

Estas transformaciones isométricas tienen estrecha relación con las expresiones artísticas, sustentada en la construcción geométrica.

Antes de mostrar los conceptos de las diferentes transformaciones isométricas, es importante mencionar; da click en cada transformación y observa el applet creado en Geogebra, que cumple con los conceptos descritos abajo.

1. Transformaciones isométrica por Traslación. Es un cambio de posición de una figura en el plano, determinada por un vector.

En general, se llama traslación de un vector (v) a la isometría que a cada punto m del plano le corresponde un punto m’ del mismo plano, tal que mm’ = v.

Las traslaciones isométricas están marcadas por tres elementos:

· La dirección, horizontal, vertical u oblicua.

· El sentido, derecha, izquierda, arriba o abajo.

· La magnitud del desplazamiento de la figura en una unidad de medida.

2. Transformaciónisométrica por rotación. En geometría, es un movimiento de cambio en la orientación de un cuerpo, de tal manera que, dado un punto cualquiera del mismo, este permanece a una distancia constante de un punto fijo, con las siguientes características.

· Un punto denominado centro de rotación.

· Un ángulo.

· Un sentido de rotación.

Esta transformación por rotación puede ser positiva (en sentido contrario a las manecillas del reloj) o negativa (sentido de las manecillas del reloj).

3. Transformación isométrica por Simetría (central o axial). Es la correspondencia exacta (reflejo) en la disposición regular de las partes o puntos de un cuerpo con relación a un punto (centro), recta (eje de simetría) o un plano.

Simetría Central. Transformación en la que a cada punto se le asocia otro punto, que debe cumplir las siguientes condiciones:

· El punto y su imagen deben de estar a al misma distancia de un punto llamado centro.

· El punto, la imagen y el centro pertenecen a la misma recta.

Simetría axial. Transformación respecto de un eje de simetría, en el cual, a cada punto de la figura se le asocia un punto denominado imagen, y debe de cumplir:

· La distancia del punto y su imagen con respecto del eje de simetría, es la misma.

· El segmento que une al punto y su imagen, es perpendicular al eje de simetría.

En la simetría axial se conservan las distancias pero no los ángulos.

Aunque no es considerada dentro de las transformaciones isométricas por sus características es importantes escribir sobre:

La homotecia, es una transformación que conserva la forma (sus ángulos se conservan) como la orientación (sus lados proporcionales son paralelos) de la figura, más no necesariamente su tamaño.

Formalmente, se define una homotecia de centro O y razón k a la transformación que hace corresponder a un punto A otro A’, alineado con A y O, tal que: OA’ = k*OA.